TPE

Physique/Sport

Comment un archer parvient-il à atteindre sa cible ?

I - Présentation du sujet

Dans le cadre des TPE , nous allons étudier le comportement de l'archer et le rôle des matériaux dans la puissance de l'arc ainsi que dans la précision afin que la flèche atteigne la cible. Enfin, nous verrons en quoi le poids des différents éléments influencent la trajectoire et la vitesse de la flèche.

Pour répondre à cette question, nous allons adopter la démarche suivante:

- Présentation des types d'arc et des matériaux des flèches,

- Comment tirer à l'arc : la position à adopter

- Physique de l'arc : étude des forces

- Calcul de la vitesse par le principe de conservation d'énergie et le théorème de l'énergie cinétique (chapitres 19 et 20 du cours de 1ère S),

- Calcul de la trajectoire de la flèche,

- Précision du tir en fonction de la distance de la cible et de l'habileté de l'archer.

Définition

Le tir à l'arc est un sport de précision et de concentration dans lequel les archers tentent de tirer leurs flèches dans le but d'atteindre une cibleavec leur arc.

II - Présentation des types d'arcs, de leurs caractéristiques, et de leur histoire respective

L'arc recourbé (recurve)

Arc classique mais recourbé aux extrémités, ce qui permet une meilleure utilisation de la force emmagasinée pour une augmentation minimale de l'effort devant être fourni

Le Longbow (ou, arc long anglais)

Arc mesurant environs 1,80m. La poignée est de forme circulaire, et l’arc est en forme de D aux extrémités. La forme de l’arc est modifiée en fonction du bois utilisé, il peut parfois avoir une forme ondulée, ce qui le rend puis efficace, ce qui prime sur l’esthétisme. La poignée ne comporte pas de repose flèche : en position de tir, c’est sur la main que se repose la flèche.

L'arc a poulie (ou compound)

C'est un arc doté un système de câbles et poulies afin de démultiplier la puissance de propulsion.

C'est un arc moderne muni de deux poulies à ses extrémités , ce qui permet d'augmenter grandement sa puissance tout en gardant une grande précision et en fournissant un effort minimum. C'est l'arc le plus utilisé pour la chasse et les compétitions. Il mesure environ 1m de long et est en carbone ou aluminium.

L'empennage , quand à lui , est resté le même: en forme de croix un peut enroulé autour de la flèche pour qu'elle ai un effet de rotation lors de sa face de vol, lui donnant une trajectoire linéaire.

Différents matériaux de flèches

Le bois

Les premières flèches étaient bien sur en bois. Le plus populaire est le cèdre: léger et résistant.

L'aluminium

C'est le matériau le plus polyvalent et le plus utilisé. Son prix est bas, et elle a une durabilité supérieure aux flèches en carbone.

Le carbone

Elles sont solides, indéformables, plus légères que l'aluminium mais aussi plus rapides.

Ainsi:A l'origine en bois, les flèches sont aujourd'hui en aluminium, pour le tir en salle et en carbone ou alliage aluminium-carbone pour le tir en extérieur. Les flèches en bois ne sont plus utilisées qu'avec l'arc droit. La présence de plumes (en plastique) permet de stabiliser le vol des flèches.

La corde

La corde est en Dacron, sorte de nylon résistant, souple et nerveux à la fois, qui ne varie pratiquement pas à l'humidité ou à la pluie.

III - Comment tirer a l'arc?

Pour tirer correctement à l'arc et bien viser, il a tout une «gymnastique» :

Tout d'abord ,il faut déterminer son œil directeur, c'est à dire l’œil avec lequel on vise le plus précisément. Il correspond généralement à la main directrice (droit pour les droitiers par ex)

Il peut aussi arriver que l’œil directeur sois du côté inverse de la main directrice. Pour pallier à ça , il arrive que des archers droitiers, dont l’œil directeur est le gauche, tirent avec un arc pour gaucher.

Ensuite, il est important étirer correctement les membres utilisés ainsi que le cou , les cervicales etc.

Enfin, une position spéciale est requise pour une performance optimale. L'archer est de profil par rapport à la cible , le bras et la main tenant le manche alignés avec les épaules, le tout formant une ligne parallèle avec le sol. La main retenant la corde et la flèche se trouve au niveau de la joue, sous l’œil, le tout aligné vers la cible.

IV - Différentes forces exercées par l'archer et l'arc lui même

Afin de tirer une flèche, l'archer arme son arc : il tire sur la corde ce qui fléchit les branches de son arme ce qui a pour effet d'emmagasiner de l'énergie de déformation élastique (E)

son allonge (A) mesurée en mètres , c'est a dire l'amplitude du mouvement de sa main lorsqu'il tend la corde ainsi que la force maximale qu'il peut exercer (F) mesuréemesurée en Joules qui sera ensuite divisée par deux et donnée à la flèche. La valeur maximale de cette énergie ne dépend donc que des grandeurs physiologiques de l'archer :

en livres dans le domaine de l'archérie et en newton dans le domaine physique, tout en pouvant maintenir cette force quelques instants pour pouvoir viser.

L représente la distance dont la corde a été écartée lorsque l'archer a bandé l'arc

T représente la tension de la corde

F représente les forces emmagasinées et opposées nécessaires pour emmagasiner de l'énergie

R représente les forces exercées par l'arc contre la tension de la corde

V- Le Band

Definition : Le band c'est la distance qui sépare la corde du creux de la poignée, arc bandé et au repos.

Le Band a une importance capitale car il influe sur la courbure des branches et détermine donc la quantité d'énergie stockée, et la longueur de poussée.

Pour comprendre l'effet de variation du band sur le fonctionnement de l'arc il faut examiner la géométrie des branches :

On peut constater qu'une branche d'arc est constituer de 2 parties : celle qui part de la poignée et se plie sur l'archer, et celle qui va se replier sur la cible.

Si le band augmente :

La partie de la branche qui se plie vers l’archer va augmenter sa courbure alors que celle qui se replie vers la cible va voir diminuer sa courbure.

Les branches seront plus pliées donc l’arc sera plus tendu.

La sensation sera celle d’un arc plus raide.

Par contre la longueur de poussée sera plus courte, ce qui permettra de moins commettre d'erreurs (moins de temps pour transmettre une déviation).

Si je diminue mon band :

On obtient l'effet inverse.

La libération de la flèche :

Le band joue également sur le moment de la libération de la flèche. Il a été montré que la flèche quitte la corde après le band (par exemple : pour un band de 23 cm la flèche quitte la corde à environ 21 cm, donc plus près de la poignée). La distance exacte dépend de l’élasticité du matériau de corde.

Le paradoxe est bien connu des archers : la corde ne reviens pas au band en ligne droite mais selon un chemin sinueux qui commence par s'écarter de la fenêtre. En même temps la flèche se tord.

Donc au moment où l’encoche quitte la corde son axe n’est pas forcement aligné avec l’axe du mouvement de la corde.

VI - Energie emmagasinée par l'arc et transmise à la flèche

L'énergie stockée dans l'arc est égale au produit de la force par l'allonge :

E (en joules) = F (en newtons) x A (en m)

Il s'agit de la force nécessaire pour tendre l'arc.

Par exemple, Pour un archer entrainé de taille moyenne, la taille moyenne des bras étant d'environ 70cm et la force maximale moyenne étant de 50 livres, donc environ 222 newtons, L'énergie maximum (appelée optimum) moyenne sera E=222 x 0,7=156 Joules

Ainsi l'énergie (E') transmise à la flèche est égale à une certaine fraction de l'optimum, dépendant de l'arc et du rapport des masses de la corde à celle de la flèche :

E' (en joules) = Optimum x constante de l'arc x (1-(masse de la corde/3 x masse de la flèche))

C'est l'énergie transmise par l'arc à la flèche.

On note que ces paramètres varient avec les différents types d'arc, de cordes et de flèches. Par exemple, un arc recourbé verra son potentiel d'énergie de déformation augmenter. Le bras tenant l'arc se situant vers son milieu, c'est a dire l'endroit où l'arc se plie le plus facilement, l'énergie de déformation élastique et donc l'énergie donnée a la flèche fournie par l'arc sera supérieure à celle fournie par l'arc long, et ce pour une force égale.

Le poids de la flèche et de la corde de l'arc joueront également un rôle car une corde légère aura, par exemple, le coefficient de transmission de masse C_masse s'écrivant :

C_masse = 1-(masse de la corde/3 x masse de la flèche))

pour une flèche de masse donnée, plus la corde est légère, et plus une quantité d'energie importante est transmise à la flèche :

Cependant, plus une flèche sera lourde, moins sa vitesse sera importante, comme cela va être montré plus loin.

On en conclut que cet arc permet donc de se rapprocher plus de son optimum que l'arc long.

Enfin voici une liste des constantes qui diffèrent suivant les arcs employés :

Arc long moyen= 0,5

Arc recurve moyen= 0,7

Arc à poulies moyen = 0,9

En pointillés la délimitation de la courbure de l'arc recourbé comparé à l'arc long

En rouge la force rajoutée aidant à la déformation de l'arc

En bleu la représentation de la baisse de force nécessaire pour bander l'arc

En comparaison , l'arc recurve permet d'accumuler 40% d'énergie en plus que les arcs droits et permet d'atteindre 70% de l'optimum contre 50%.

Cette force est suffisante pour propulser une flèche de 20g à 320km/h ce qui est égale à environ 90m/s

Avec un arc droit, une flèche de 20g sera propulsée grâce à une force de 155/100x70=110 Joules

Ce qui équivaut a environ 125 m/s ce qui correspond à 450 km/h

Ainsi, pour une même énergie stockée, un arc recourbé est plus petit qu'un arc long.

VII - Calcul de la vitesse initiale de la flèche

La vitesse V de la flèche se calcule grâce à l'énergie E' qu'elle reçoit. On la calcule comme ceci :

1. Le principe de conservation de l'énergie transmise à la flèche permet de dire que cette énergie est convertie en énergie cinétique (d'où le même résultat) dont la formule est :

E' (en joules) =Ec (en joules)

2. L'énergie cinétique d'un objet (ici une flèche) est liée à sa vitesse par la formule :

Ec (en joules) = 1/2 x m flèche x V flèche ²

3. donc :

V flèche = racine de (2E'/masse de la flèche en kilos)

Faisant varier la masse de la flèche, on obtient le graphique ci-dessous :

VIII - Balistique élémentaire de la flèche

Cette étape nécessitant des connaissances acquises dans le programme de terminale, nous avons interviewé un ingénieur qui nous a expliqué le principe et aidé a établir les calculs. Toutefois il nous sera très délicat d'expliquer les phénomènes décrits ci dessous.

Les éléments étudiés sont développés suivant ces variables :

La résistance de l'air est négligée
Le champs de gravitation g est uniforme sur la trajectoire de la flèche
Les paramètres suivants sont retenus : h0, hauteur initiale de la flèche (1m70) a est l'angle initial entre le vecteur vitesse initiale et l'horizontale, hc est la hauteur du centre de la cible, et D est la distance horizontale entre le tireur et la cible.

On considère la trajectoire du centre de gravité de la flèche : cette trajectoire est une fonction du temps. On montre que les équations de la trajectoire sont les suivantes:

x(t) = v0 . t . cos a
y(t) = -1/2 . g .t ² + v0 . t . sin a + h0

Ces equations sont les equations temporelles du mouvement. Pour obtenir la nature de la trajectoire, on élimine la variable temps (t) dans les equations de la manière suivante : t = x/(v0 . cos a) , et remplaçant t par cette valeur dans l'expression de y on obtient

y = - ½ . g / (v0 . cos a)² . x² + x . tan a + h0

On reconnait alors l'équation d'une parabole y =ax² + bx + c , et a étant négatif, sa concavité est tournée vers le bas.

La trajectoire du centre de gravité de la flèche est donc une trajectoire parabolique.

Y = Hauteur

x = p

v₀ = vitesse de la flèche

Pour trouver l'angle d'une portée P égale à la distance entre le tireur et la cible, on résoud l'équation

Ycible= -1/2 . g/(v₀ . cos a)² . x² + x . tan a + Ytireur

Ycible= -1/2 . g/(v₀ . cos a)² . p² + p . tan a + Ytireur

Ycible= -1/2 . ((g.p²) / (v₀².cos² a)) + p . tan a + Ytireur

Cas simple : Ycible = Ytireur

(g . p²) / (v₀² . Cos² a) = p . tan a = sin a/ cos a

=g . p / 2v₀² = sin a . cos a

g . p / v₀² = 2 sin a . cos a = sin 2 a

sin 2 a = g . p / v₀²

sin-1 . (sin 2 a) = 2 a

= sin-1 . (g . p / v0²)

a= ½ . sin-1 . (g . p / v₀²)

Si a est petit, sina # a et on obtient :

a # (g . p / (2v₀²)

Cas général : DYcible non nul :

DY= Ycible - Ytireur

DY . cos a = -(g.p² / (2v₀² . cos a)) + p . sin a

DY . cos² a = -(g.p² / 2v₀²) + p . sin a . cos a

DY . 2cos² a= -(g.p² / v₀²) + 2p . sin a .cos a

DY (1+ cos2 a) = -g . (p² / v₀²) + p . sin2 a

(cos2 a = 2cos² a -1)

DY (1+ cos2 a) = - (g.p² /v₀²) + p . sin2 a

Tir tendu – a petit - DY faible

=> Approximation :

considérant les angles en radian :

sin 2a # 2a

cos 2a # 1

La notation # signifie "environ égal à", ou "peu différent de".

Dans ce cas :

2DY # -(g.p²/v₀²)+2p.a

a # (g.p / 2v₀²) + (DY/p)

a # DY/p + (g.p/2v₀²)

DY= Ycible- Ytireur en radian

En résolvant ces équations avec Excel , nous pouvons obtenir ce graphique ainsi que ce tableau :

Cependant , une erreur de visée même minime a une influence assez importante sur l'écart entre la flèche et la cible à l'arrivée.

Si L est la longueur de la trajectoire et da l'erreur de visée (en radians) , l'écart au but s'écrit :

Ec= L . da

Par exemple, 5 centièmes de degré d'erreur de visée amènent 7 à 10 cm d'écart au but.

IX- COMMENT VISER?

Il n'y a pas de secret, bien viser a l'arc est le résultat d'un entraînement intensif. L'archer se repère grâce à ses lèvres ou son nez, en tirant à lui la corde pour les mettre en contacte. Il vise grâce à la pointe de sa flèche avec laquelle son œil directeur est aligné, en fonction de la distance à la cible , il pointe légèrement au dessus du centre de la cible . Les cibles généralement employées pour cette pratique , ont un disque central de 10cm de diamètre. Ainsi, à 70 mètres l'archer le voit sous un angle de moins d'un dixième de degré et doit donc ajuster la position de la corde et de ses mains au millimètres près afin d'atteindre le centre.

X - Le paradoxe de l'archer

De nombreux effets lors d'un tir, viennent perturber la trajectoire de la flèche , ceux quelque soit le contrôle que peut exercer l'archer sur la force du tir ou la visée. En effet, durant la décoche on constate plusieurs facteurs agissant sur le trait mais qui n'empêchent pas pour autant ,ce dernier d'atteindre sa cible dans le plan de l'arc.Ainsi on peut étudier ce qui se produit:

-d'abord , la flèche repose sur le manche de l'arc et pointe légèrement vers le côté

-ensuite , quand le tir survient, on remarque que la force exercée par la corde ne se dirige pas dans l'axe de la flèche. Ainsi , elle la fait pivoter autour d'un axe vertical.

-puis lors de l'avancement de la corde , cette dernière acquiert une vitesse transversale suite aux frottements contre les doigts du tireur. (cette vitesse est la composante de la vitesse d'un objet et est l'angle droit de la visée de celui-ci).

-enfin , on remarque que l'arrière de la flèche est plus large que l'avant suite à l'empennage ; ce qui avec touts les éléments précédents, devraient empêcher au projectile d'atteindre sa cible.

Cependant, elle y arrive. Le phénomène à l'origine de cet événement se nomme «le paradoxe de l'archer ».Il a été élucidé dans les années 1930/1940 par le physicien américain Paul Klopsteg au moyen d'une caméra ultrarapide; ce qui lui permit de constater que lors de la décoche , la flèche se tord et vibre en progressant , de façon semblable à un serpent. Cela s'explique par le fait que la corde fait une légère embardée suite au contacte avec les doigts du tireur qui la lâche; ce qui communique à l’extrémité arrière de la flèche une accélération latérale de plusieurs centaines de fois l'accélération de la pesanteur (à savoir 9,80665 m/s2 ). Suite à cela , le fût du projectile fléchit , étant donné que l'inertie empêche qu'un déplacement latérale soit ressenti instantanément par la pointe ,qui ,elle subit, un force en provenance du manche.De ce fait , elle vibre dans un plan horizontal comme une lame d'acier frappée. Quand la progression de la flèche et ses torsions se synchronisent , le corps de la flèche contourne le manche de l'arc. Ensuite , lorsque le milieu de cette dernière parvient au niveau du manche , les deux extrémités du trait sont dans le plan de l'arc tandis que son centre s'en trouve écarté. Enfin , lors de sa sortie , les oscillations lui donne une trajectoire sinueuse mais les vibrations s'atténuent suite aux frottements avec l'air et elle poursuit la direction visée.

On peut ajouter que dans le but de minimiser les effets pouvant altérer l'axe de la flèche , le professeur Klopsteg a conçu dès 1930 un prototype d'arc semblable aux arcs modernes. Ce dernier possédait un manche présentant un décrochement en son milieu, ce qui rendait impossible toutes modifications de trajectoire.De plus , un cale en acier avec un ressort réglable permettait de limiter les contacts trop marqués avec le corps de l'arc en réglant l'amplitude des vibrations de la flèche.

Pour finir , pour pallier à toutes modifications de tir , il est important de bien choisir les flèches de façon à ce que l'empennage ne frotte pas contre le manche.Pour ce faire , il suffit de contrôler la flexibilité du trait ainsi que son poids : lourd= moins de vibrations mais moins rapide/ léger =plus rapide mais aussi plus sujet aux torsions.

XI-Expérimentation

Pour parachever notre exposé , nous avons réalisé un expérience pour mettre en évidence la trajectoire parabolique de la flèche ainsi que les phénomènes physique l'influençant . La position est importante et offre de meilleures performances. Toutefois , bien viser et atteindre sa cible requiert un entraînement régulier. Voici une vidéo ainsi que quelques images tirées de celle ci pour mettre en évidence le paradoxe de l'archer.

Voici la vidéo - LIEN VERS LA VIDEO

distance de tir : 70 mètres de la cible, hauteur: 1 mètre 50

pointage de la position de la flèche à mi-parcours

arrivée de la flèche dans la cible

mise en évidence de la trajectoire parabolique de la flèche

arrivée de la flèche dans la zone ciblée

entrée de la flèche dans la cible en vibrant

mise ne évidence de la présence de vibration lors du trajet d'une flèche

Sur ces photos, on voit que la flèche se déforme de haut en bas lors de son entrée dans la cible. Cela prouve donc que lors de sa phase de vol, la flèche n'est pas indéformable. Elle vibre autour de son centre de gravité lequel suit une trajectoire parabolique mise en évidence dans les premières photos.

CONCLUSION

On en conclut que le modèle élémentaire ci-dessus rend compte simplement du problème sous les hypothèses restrictives suivantes :

- la flèche est déformable,

- la résistance de l'air est négligeable

Lorsque l'on calcule la trajectoire du centre de gravité de la flèche ,celle ci est parabolique.

L’expérimentation montre que la flèche déformable vibre selon son axe et que cette vibration altère sa trajectoire de manière notable comme indiqué sur les photographies.

La dextérité de l'archer prend instinctivement en compte ces paramètres pour un tir précis.

Il serait donc extrêmement difficile de mettre en place un calcul prenant en compte tous ces paramètres car ils relèvent du naturel et de l'instinct propre a l'homme, ce pourquoi les calculs présents dans cette étude ne sont que des approximations suffisamment représentatives d'un point de vue théorique et des ordres de grandeur observées. Enfin , pour répondre à la problématique , "comment un archer parvient-il à atteindre sa cible ?" , nous pouvons dire que l'aboutissement d'un tir dépend à la fois du tireur et de l'objet manié par celui-ci. En effet , on constate la position de l'archer, sa visée et sa dextérité sont des points tout aussi important que les matériaux de l'arc et des flèches , l'allonge de l'outil ou encore sa flexibilité. Ainsi , la question concerne plus spécifiquement des caractéristiques physiques , nous permettant aux thermes de nos recherches de donner une reformulation de la question , à savoir "quels sont les phénomènes (sous entendus physiques) qui permettent à un archer d'atteindre sa cible ?".

Bibliographie:

PDF:

PhysiqueTirArc
Dynamique d'une fléche en phase de vol _(Partie I_) - Du jaune dans le Cosmos
Dynamique d'une fléche en phase de vol _(Partie II_) - Du jaune dans le Cosmos
Dynamique d'une flèche en phase de vol _(partie III_) - Du jaune dans le Cosmos
La sequence de tir Mouvements
Tir_a_l'arc

LIVRE(S):

Physique/Chimie- 1°S-Hatier

Sitographie:

TPE Physique/Sport Comment un archer parvient-il

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